1.4 Igualdad de matrices

Lección 1.4 – Igualdad de matrices

Lección 1.4: Igualdad de matrices

Consideremos dos matrices, \( A \) y \( B \), del mismo tipo \( m \times n \), en este caso \( 3 \times 2 \):

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{bmatrix}

Los elementos que ocupan la misma posición se denominan elementos correspondientes.

Dos matrices \( A \) y \( B \) son iguales si y solo si tienen el mismo tipo y sus elementos correspondientes son iguales:

A = B \Leftrightarrow a_{ij} = b_{ij}, \quad \text{con } 1 \leq i \leq m, \; 1 \leq j \leq n

Sean

A = \begin{bmatrix} 3 & 8 \\ 0 & 5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 4 – 1 & 5 + 3 \\ 2 – 2 & 5 \cdot 1 \\ 1 – 2 & 4 \div 2 \end{bmatrix}

\( a_{11} = 3 \), \( b_{11} = 4 – 1 = 3 \)
\( a_{12} = 8 \), \( b_{12} = 5 + 3 = 8 \)
\( a_{21} = 0 \), \( b_{21} = 2 – 2 = 0 \)
\( a_{22} = 5 \), \( b_{22} = 5 \cdot 1 = 5 \)
\( a_{31} = -1 \), \( b_{31} = 1 – 2 = -1 \)
\( a_{32} = 2 \), \( b_{32} = 4 \div 2 = 2 \)

B = \begin{bmatrix} 3 & 8 \\ 0 & 5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = A

Conclusión:

Tienen las mismas dimensiones
Todos sus elementos correspondientes son iguales (después de resolver cualquier operación)

Sean \( A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & -7 \\ 3 & 0 & -5 \end{bmatrix} \), y \( B = (b_{ij})_{2 \times 3} \) con \( b_{ij} = 2i – j^2 \)

\( b_{11} = 2 \cdot 1 – 1^2 = 1 \)
\( b_{12} = 2 \cdot 1 – 2^2 = -2 \)
\( b_{13} = 2 \cdot 1 – 3^2 = -7 \)
\( b_{21} = 2 \cdot 2 – 1^2 = 3 \)
\( b_{22} = 2 \cdot 2 – 2^2 = 0 \)
\( b_{23} = 2 \cdot 2 – 3^2 = -5 \)

Por lo tanto, \( B = A \)

\( C = \begin{bmatrix} 9 & 5 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 9 & 4 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \)

Las matrices tienen la misma dimensión, pero \( c_{12} = 5 \neq 4 = d_{12} \). Por lo tanto, \( C \neq D \)

\( E = \begin{bmatrix} 5 & -6 \\ 8 & 2 \\ 13 & 1 \end{bmatrix}, \quad F = \begin{bmatrix} 5 & 8 & 13 \\ -6 & 2 & 1 \end{bmatrix} \)

La matriz \( E \) es \( 3 \times 2 \) y \( F \) es \( 2 \times 3 \). Como no tienen la misma dimensión, \( E \neq F \)