Solución Ejercicio 1

El orden de una matriz se determina contando el número de filas (líneas horizontales) y el número de columnas (líneas verticales) que posee. Se expresa como “número de filas \( \times \) número de columnas”.

a) Matriz A:

Observamos que la matriz \(A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\ 3&5&2\\ 0&12&3\end{pmatrix}\) tiene 3 filas y 3 columnas.

Por lo tanto, el orden de A es \(3 \times 3\).

b) Matriz B:

La matriz \(B=\begin{pmatrix}0&-1&9&1\\ 2&3&63&5\\ -7&4&0&8\\ 2&15&18&-2\end{pmatrix}\) tiene 4 filas y 4 columnas.

Por lo tanto, el orden de B es \(4 \times 4\).

c) Matriz C:

La matriz \(C=\begin{pmatrix}12&3\\ -5&1\\ 4&-4\\ 2&1\end{pmatrix}\) tiene 4 filas y 2 columnas.

Por lo tanto, el orden de C es \(4 \times 2\).

d) Matriz D:

La matriz \(D=\begin{pmatrix}d_{11}&d_{12}&d_{13}&d_{14}\\ d_{21}&d_{22}&d_{23}&d_{24}\end{pmatrix}\) tiene 2 filas y 4 columnas.

Por lo tanto, el orden de D es \(2 \times 4\).

Solución Ejercicio 2

Para determinar los elementos solicitados, recordamos que la notación \(a_{ij}\) se refiere al elemento que se encuentra en la fila \(i\) (primer subíndice) y la columna \(j\) (segundo subíndice).

a) \(a_{23}\): Buscamos el elemento en la segunda fila y la tercera columna.

Observando la matriz A: \(A=\begin{pmatrix}-2&2&9&3\\ 85&1&\mathbf{0}&4\\ 0&-4&15&5\\ 3&59&753&6\end{pmatrix}\)

El elemento es 0.

b) \(a_{12}\): Buscamos el elemento en la primera fila y la segunda columna.

Observando la matriz A: \(A=\begin{pmatrix}-2&\mathbf{2}&9&3\\ 85&1&0&4\\ 0&-4&15&5\\ 3&59&753&6\end{pmatrix}\)

El elemento es 2.

c) \(a_{43}\): Buscamos el elemento en la cuarta fila y la tercera columna.

Observando la matriz A: \(A=\begin{pmatrix}-2&2&9&3\\ 85&1&0&4\\ 0&-4&15&5\\ 3&59&\mathbf{753}&6\end{pmatrix}\)

El elemento es 753.

d) \(a_{33}\): Buscamos el elemento en la tercera fila y la tercera columna.

Observando la matriz A: \(A=\begin{pmatrix}-2&2&9&3\\ 85&1&0&4\\ 0&-4&\mathbf{15}&5\\ 3&59&753&6\end{pmatrix}\)

El elemento es 15.

Solución Ejercicio 3

La matriz A es de orden \(2 \times 3\), lo que significa que tiene 2 filas (\(m=2\)) y 3 columnas (\(n=3\)). La fórmula para cada elemento es \(a_{ij}=5i-j^{2}\).

Calculamos cada elemento de la matriz:

Para la primera fila (\(i=1\)):

• \(a_{11}\) (columna \(j=1\)): \(5(1) – 1^2 = 5 – 1 = 4\)
• \(a_{12}\) (columna \(j=2\)): \(5(1) – 2^2 = 5 – 4 = 1\)
• \(a_{13}\) (columna \(j=3\)): \(5(1) – 3^2 = 5 – 9 = -4\)

Para la segunda fila (\(i=2\)):

• \(a_{21}\) (columna \(j=1\)): \(5(2) – 1^2 = 10 – 1 = 9\)
• \(a_{22}\) (columna \(j=2\)): \(5(2) – 2^2 = 10 – 4 = 6\)
• \(a_{23}\) (columna \(j=3\)): \(5(2) – 3^2 = 10 – 9 = 1\)

Al organizar estos elementos en una matriz de 2 filas y 3 columnas, obtenemos:

Respuesta Ejercicio 4

Solución Ejercicio 5

La matriz C es de orden \(3 \times 3\). Aplicamos la regla dada para cada elemento:

1. Si \(i=j\) (elementos de la diagonal principal): \(c_{ij}=1\).

• \(c_{11} = 1\) (porque \(i=1, j=1\), entonces \(i=j\))
• \(c_{22} = 1\) (porque \(i=2, j=2\), entonces \(i=j\))
• \(c_{33} = 1\) (porque \(i=3, j=3\), entonces \(i=j\))

2. Si \(i \ne j\) (elementos fuera de la diagonal principal): \(c_{ij}=\frac{i}{j}\).

• \(c_{12}\) (fila 1, col 2; \(i \ne j\)): \(\frac{1}{2}\)
• \(c_{13}\) (fila 1, col 3; \(i \ne j\)): \(\frac{1}{3}\)
• \(c_{21}\) (fila 2, col 1; \(i \ne j\)): \(\frac{2}{1} = 2\)
• \(c_{23}\) (fila 2, col 3; \(i \ne j\)): \(\frac{2}{3}\)
• \(c_{31}\) (fila 3, col 1; \(i \ne j\)): \(\frac{3}{1} = 3\)
• \(c_{32}\) (fila 3, col 2; \(i \ne j\)): \(\frac{3}{2}\)

Por lo tanto, la matriz C es:

Respuesta Ejercicio 6

Solución Ejercicio 7

Primero, construimos la matriz C, donde cada elemento \(c_{ij}\) se calcula como \(2i-j\):

a) La suma de todos los elementos de C.

Sumamos todos los elementos de la matriz:

Fila 1: \(1+0+(-1)+(-2) = -2\)

Fila 2: \(3+2+1+0 = 6\)

Fila 3: \(5+4+3+2 = 14\)

Fila 4: \(7+6+5+4 = 22\)

Suma total = \(-2 + 6 + 14 + 22 = 4 + 14 + 22 = 18 + 22 = 40\).

b) El producto de los elementos de la tercera fila.

La tercera fila es \((5, 4, 3, 2)\).

Producto = \(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 20 \cdot 6 = 120\).

c) \(c_{11}-c_{22}+3c_{14}-c_{31}\)

Identificamos los elementos:

\(c_{11}=1\) (fila 1, columna 1)

\(c_{22}=2\) (fila 2, columna 2)

\(c_{14}=-2\) (fila 1, columna 4)

\(c_{31}=5\) (fila 3, columna 1)

Calculamos la expresión:

\(1 – 2 + 3(-2) – 5 = 1 – 2 – 6 – 5 = -1 – 6 – 5 = -7 – 5 = -12\).

d) \((c_{11}\cdot c_{22}\cdot c_{33}\cdot c_{44})-(c_{14}\cdot c_{23}\cdot c_{32}\cdot c_{41})\)

Identificamos los elementos:

\(c_{11}=1, c_{22}=2, c_{33}=3, c_{44}=4\).

\(c_{14}=-2, c_{23}=1, c_{32}=4, c_{41}=7\).

Calculamos el primer producto (diagonal principal):

\(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\)

Calculamos el segundo producto:

\(-2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 7 = -56\)

Realizamos la resta:

\((24) – (-56) = 24 + 56 = 80\).

Solución Ejercicio 8

a) Matriz fila A con 4 elementos, \(a_{1j}=1^2-2j = 1-2j\)

Como es una matriz fila, el índice de fila \(i\) es siempre 1. Calculamos los elementos para \(j=1, 2, 3, 4\):

\(a_{11} = 1 – 2(1) = 1 – 2 = -1\)

\(a_{12} = 1 – 2(2) = 1 – 4 = -3\)

\(a_{13} = 1 – 2(3) = 1 – 6 = -5\)

\(a_{14} = 1 – 2(4) = 1 – 8 = -7\)

b) Matriz columna B con 6 elementos, \(b_{i1}=2i+1\)

Como es una matriz columna, el índice de columna \(j\) es siempre 1. Calculamos los elementos para \(i=1, 2, 3, 4, 5, 6\):

\(b_{11} = 2(1)+1 = 3\)

\(b_{21} = 2(2)+1 = 5\)

\(b_{31} = 2(3)+1 = 7\)

\(b_{41} = 2(4)+1 = 9\)

\(b_{51} = 2(5)+1 = 11\)

\(b_{61} = 2(6)+1 = 13\)

c) Matriz identidad \(P=(p_{ij})_{5\times5}\)

La matriz identidad de orden 5 es una matriz cuadrada de \(5 \times 5\) con 1s en la diagonal principal (\(p_{ii}=1\)) y 0s en todas las demás posiciones (\(p_{ij}=0\) si \(i \ne j\)).

d) Matriz triangular superior Q de orden 2: \(q_{ij}=\cos(\frac{ij\pi}{2})\), para \(i\le j\)

Una matriz triangular superior de orden 2 tiene la forma \(\begin{pmatrix} q_{11} & q_{12} \\ 0 & q_{22} \end{pmatrix}\). El elemento \(q_{21}\) es 0.

Calculamos los elementos para \(i \le j\) usando \(q_{ij}=\cos(\frac{ij\pi}{2})\):

• \(q_{11} = \cos(\frac{1 \cdot 1 \cdot \pi}{2}) = \cos(\pi/2) = 0\)
• \(q_{12} = \cos(\frac{1 \cdot 2 \cdot \pi}{2}) = \cos(\pi) = -1\)
• \(q_{22} = \cos(\frac{2 \cdot 2 \cdot \pi}{2}) = \cos(2\pi) = 1\)

Respuesta Ejercicio 9

Respuesta a cargo del alumno.

(Ejemplos posibles: a) Cualquier matriz diagonal, como \(\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}\) o \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\). b) \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) o \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). c) \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\) (elementos en diagonal secundaria: 3 y 2) o \(\begin{pmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 0 & 6 & 0 \\ 7 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) (elementos en diagonal secundaria: 7, 6, 5). d) \(\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 0 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}\) o \(\begin{pmatrix} 0 & -4 \\ 10 & 12 \\ -6 & 2 \end{pmatrix}\). )

Solución Ejercicio 10

Para que dos matrices sean iguales, sus elementos correspondientes deben ser iguales. Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones:

1. De \(a_{12}\): \(7 = c-2b\)
2. De \(a_{22}\): \(a+c = 8\)
3. De \(a_{31}\): \(-1 = a+3b\)

De la ecuación (3), podemos despejar \(a\):

\(a = -1 – 3b\)

Sustituimos esta expresión de \(a\) en la ecuación (2):

\((-1 – 3b) + c = 8\)

\(c – 3b = 8 + 1\)

\(c – 3b = 9 \Rightarrow c = 9 + 3b\)

Ahora, sustituimos esta expresión de \(c\) en la ecuación (1):

\(7 = (9 + 3b) – 2b\)

\(7 = 9 + b\)

\(b = 7 – 9 \Rightarrow \mathbf{b = -2}\)

Con el valor de \(b\), encontramos \(a\):

\(a = -1 – 3(-2) = -1 + 6 = \mathbf{5}\)

Y encontramos \(c\):

\(c = 9 + 3(-2) = 9 – 6 = \mathbf{3}\)

Respuesta Final: \(a=5, b=-2, c=3\)

Respuesta Ejercicio 11

a) \(x=3, z=4\)

b) \(\sqrt{x}=4 \Rightarrow x=16\). \(3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \Rightarrow y=6\). \(z+1=9 \Rightarrow z=8\).

c) \(x+y=5\), \(z=5\), \(y-x=1\). Resolviendo el sistema para x e y: \(x=2, y=3\). Entonces \(x=2, y=3, z=5\).

Solución Ejercicio 12

Primero, construimos la matriz M de orden \(2 \times 3\) con \(m_{ij}=i+2j\):

\(m_{11} = 1 + 2(1) = 3\)

\(m_{12} = 1 + 2(2) = 5\)

\(m_{13} = 1 + 2(3) = 7\)

\(m_{21} = 2 + 2(1) = 4\)

\(m_{22} = 2 + 2(2) = 6\)

\(m_{23} = 2 + 2(3) = 8\)

Ahora igualamos \(M=N\):

Igualando elementos correspondientes, obtenemos el sistema de ecuaciones:

1. \(r-s = 3\)
2. \(5 = 5\) (Esta ecuación es una identidad y no aporta información nueva.)
3. \(t-2s = 7\)
4. \(4 = 4\) (Esta ecuación es una identidad.)
5. \(t+3r = 6\)
6. \(8 = 8\) (Esta ecuación es una identidad.)

Nos quedamos con el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

(1) \(r-s = 3 \Rightarrow r = 3+s\)

(3) \(t-2s = 7 \Rightarrow t = 7+2s\)

(5) \(t+3r = 6\)

Sustituimos las expresiones de \(r\) y \(t\) de las ecuaciones (1) y (3) en la ecuación (5):

\((7+2s) + 3(3+s) = 6\)

Resolvemos para \(s\):

\(7+2s + 9+3s = 6\)

\(5s + 16 = 6\)

\(5s = 6 – 16\)

\(5s = -10\)

\(\mathbf{s = -2}\)

Ahora encontramos \(r\) usando \(r = 3+s\):

\(r = 3+(-2) = \mathbf{1}\)

Y encontramos \(t\) usando \(t = 7+2s\):

\(t = 7+2(-2) = 7-4 = \mathbf{3}\)

Respuesta Final: \(r=1, s=-2, t=3\)

Respuesta Ejercicio 13

Respuesta Final: \(n=4715, i=3, j=1\)